Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\), có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Phương pháp giải:
Dựa vào định ngĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
– Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\).
– Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \).
Giải chi tiết:
Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = + \infty \).
Đặt \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = – \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = – \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 0\) \( \Rightarrow x = – 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).
Xét phương trình \(f\left( x \right) = 0\), dựa vào BBT ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn khác \( – 1\).
Do đó đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) có 2 TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) có tất cả 4 đường tiệm cận.
Chọn A.